Mathématique : science qui étudie les structures, les relations logiques et les quantités 

Science : ensemble cohérent de connaissances objectives et vérifiables, acquises via l'observation, l'expérimentation et le raisonnement

Irréel : imaginaire, fictif

Les mathématiques sont l' activité intellectuelle de l' imaginaire. Les mathématiques étudient des réalités abstraites

Problème : la nature des mathématiques 

Thèse : Les mathématiques étudient des réalités abstraites 

Antithèse : Les mathématiques sont la science du concret 

Synthèse : Les mathématiques sont en même temps abstraites et concrètes 

Thèse : Les mathématiques étudient des réalités abstraites 

Argument 1 : Les réalités décrites sont intouchables

Explication : le chiffre 3 existe dans notre esprit, pas dans la réalité 

Citation. Albert Einstein : «les mathématiques sont une façon pour nous de penser la réalité en dépassant les limites de notre intuition»

Argument 2 : la perfection des formes mathématiques est difficilement observable dans la nature 

Explication : la terre n' est pas parfaitement ronde comme le rond des mathématiques 

Citation. Bertrand Russel : Les mathématiques sont une science où « on ne sait jamais de quoi on parle, ni Di ce qu'on dit est vrai. »

Antithèse : les mathématiques sont la science du concret

Argument 1 : Elles prennent appui sur le réel 

Explication : C'est parce qu'il a vu une forme triangulaire qu'il conçoit un triangle parfait dans son esprit 

Citation. John Stuart Mill : «les points, les lignes, les cercles que chacun a dans l' esprit sont des simples copies des points, des lignes, des cercles qu'il a connu dans l' expérience.»

Argument 2 : les mathématiques apportent des réponses aux problèmes concrets de l' homme 

Explication : Elles permettent à l' homme de quantifier et de représenter la réalité.

Citation. Galilée : « L' univers est écrit en langage mathématiques »

Synthèse : les mathématiques sont en abstraites et concrètes 

Argument : Elles utilisent l' abstraction pour mieux représenter et penser la réalité, pour mieux façonner la réalité et la rendre plus utile à l' homme 

Citation. Georg Cantor : «l'essence des mathématiques, c'est la liberté»

Exemple de devoir rédigé

Les mathématiques divisent les penseurs. Certains pensent que la mathématiques est le reflet de la réalité, tandis que d' autres estiment qu'elle étudie des réalités irréelles. C'est dans cette mouvance que se situe Ernest Renan qui affirme que « les mathématiques sont la science de l’irréel ». Autrement dit, elles étudient les éléments abstraits. La contradiction entre les penseurs au sujet des mathématiques pose le problème de la nature des mathématiques. Si nous acceptons avec Renan que les mathématiques étudient les réalités abstraites, que dire de ceux qui pensent qu'elles sont une science du concret. Au final, ne devons nous pas plutôt affirme que les réalités mathématiques sont en même temps abstraites et concrètes ?

Les mathématiques apparaissent d’abord comme une science de l’abstraction pour plusieurs raisons.

D'abord,les réalités mathématiques sont intouchables. Les nombres, les figures géométriques ou les symboles mathématiques n’existent pas physiquement dans la nature. On peut voir trois arbres ou trois maisons, mais le chiffre 3 lui-même n’existe que dans l’esprit humain. Les mathématiques travaillent donc sur des concepts abstraits produits par la pensée.

Ainsi, lorsque le mathématicien parle. Albert Einstein souligne cette réalité lorsqu’il affirme : « Les mathématiques sont une façon pour nous de penser la réalité en dépassant les limites de notre intuition. » Autrement dit, les mathématiques nous permettent de penser, d' imaginer la réalité.

Enfin, la perfection des formes mathématiques n’existe presque pas dans la nature, mais seulement dans notre  esprit.  Les figures mathématiques sont parfaites alors que les objets réels sont imparfaits. Par exemple, le cercle mathématique est parfaitement rond, mais aucun objet naturel n’atteint cette perfection. La Terre elle-même n’est pas une sphère parfaitement régulière. De même, le triangle géométrique idéal n’existe pas concrètement dans la nature. Les mathématiques semblent donc construire un monde théorique distinct du réel sensible.

Bertrand Russell exprime cette idée lorsqu’il écrit que les mathématiques sont une science où « on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu’on dit est vrai ». Cette citation montre le caractère très abstrait et symbolique des mathématiques.

Ainsi, les mathématiques paraissent bien être une science de l’irréel. Toutefois, cette position est insuffisante, car les mathématiques entretiennent aussi un rapport profond avec le monde concret.

Les mathématiques sont aussi la science du concret pour plusieurs raisons. Même si elles utilisent l’abstraction, les mathématiques tirent leur origine du réel et servent à résoudre des problèmes pratiques. 

Premièrement, les mathématiques prennent appui sur l’expérience. Les notions mathématiques proviennent souvent de l’observation du monde sensible. L’homme découvre des formes triangulaires dans la nature avant d’imaginer le triangle parfait. De même, le besoin de compter des objets a conduit à la création des nombres. Les mathématiques ne sont donc pas totalement séparées de la réalité. Elles naissent de l’expérience humaine et de l’observation du monde. John Stuart Mill affirme ainsi : « Les points, les lignes, les cercles que chacun a dans l’esprit sont de simples copies des points, des lignes, des cercles qu’il a connus dans l’expérience. »

Cette pensée montre que l’abstraction mathématique dérive du concret.

Deuxièmement, les mathématiques permettent de résoudre des problèmes réels. Les mathématiques jouent un rôle essentiel dans les sciences, la technique et la vie quotidienne. Elles servent à construire des maisons, calculer des distances, prévoir les phénomènes naturels ou développer les technologies modernes.

Par exemple, les ingénieurs utilisent les calculs mathématiques pour bâtir des ponts solides, tandis que les astronomes s’en servent pour étudier les mouvements des planètes. La relation entre mathématiques et réalité apparaît clairement. Galileo Galilei résume cette idée en déclarant : « L’univers est écrit en langage mathématique. » 

Les mathématiques ne sont donc pas séparées de la réalité. Finalement, ne faut-il pas reconnaître que les réalités mathématiques sont en même temps abstraites et concrètes ?

En réalité, les mathématiques unissent l’abstraction intellectuelle et l’application pratique. Les mathématiques procèdent par abstraction afin de mieux représenter le réel. En simplifiant les phénomènes et en construisant des modèles idéaux, elles permettent à l’homme de mieux comprendre la nature et d’agir efficacement sur elle.

Par exemple, les scientifiques utilisent des équations abstraites pour prévoir les éclipses, fabriquer des ordinateurs ou développer la médecine moderne. Les mathématiques apparaissent donc comme un langage universel qui relie la pensée humaine au monde concret. Georg Cantor déclare d’ailleurs : « L’essence des mathématiques, c’est la liberté. » Cette liberté permet à l’esprit humain de créer des concepts abstraits capables ensuite de transformer la réalité.

En définitive, la pensée de Renan met en évidence le problème de la nature des mathématiques. Nous avons vu en première partie que les mathématiques étudient les réalités abstraites car ces réalités sont intouchables et leur perfection mathématiques ne reflètent pas la réalité. Mais en deuxième partie, nous avons vu que les mathématiques sont la science du concret dans la mesure où elles prennent appuient sur le réel et apportent des réponses aux problèmes concrets. Cette opposition de points de vues nous a permis de montrer en troisième partie que les mathématiques sont en même temps abstraites et concrètes.

EnSous cet angle, elles peuvent être considérées comme une science de l’irréel.

Cependant, elles ne sont pas séparées du monde concret. Elles tirent leur origine de l’expérience et permettent à l’homme de comprendre, représenter et transformer la réalité.

Ainsi, les mathématiques sont à la fois abstraites et concrètes : abstraites par leurs concepts, mais concrètes par leurs applications. Elles constituent donc un pont entre l’esprit humain et le monde réel.