La forme canonique d'une équation de second degré
1. Rappel
Un polynôme du second degré est une expression qui s’écrit sous la forme :
P(x) = ax² + bx + c
Dans cette expression :
a est le nombre placé devant x², b est le nombre placé devant x et c est le nombre sans x.
Par exemple :
P(x) = 3x² - 2x - 3
On a donc :
a = 3
b = -2
c = -3
2. Qu’est-ce que la forme canonique ?
La forme canonique d’un polynôme du second degré est : P(x) = a(x - α)² + β
Pour trouver cette forme, il faut calculer α et β.
On commence par calculer le discriminant, noté Delta :
Delta = b² - 4ac
Ensuite, on calcule :
α = -b / 2a
Puis :
β = -Delta / 4a
Enfin, on remplace α et β dans la forme :
P(x) = a(x - α)² + β
3. Méthode à suivre
Pour trouver la forme canonique, il suffit de suivre les étapes dans l’ordre.
Étape 1 : trouver a, b et c
On regarde l’expression donnée et on identifie les trois nombres.
Étape 2 : calculer Delta
On utilise :
Delta = b² - 4ac
Étape 3 : calculer α
On utilise :
α = -b / 2a
Étape 4 : calculer β
On utilise :
β = -Delta / 4a
Étape 5 : écrire la forme canonique
On utilise :
P(x) = a(x - α)² + β
4. Exemple
Soit :
P(x) = 3x² - 2x - 3
Étape 1 : identifier a, b et c
On a : a = 3, b = -2, c = -3
Étape 2 : calculer Delta
Delta = b² - 4ac
On remplace les lettres par leurs valeurs :
Delta = (-2)² - 4 × 3 × (-3)
(-2)² = 4
Et :
4 × 3 × (-3) = -36
Donc :
Delta = 4 - (-36)
Delta = 4 + 36
Delta = 40
Étape 3 : calculer α
α = -b / 2a
On remplace b et a :
α = -(-2) / (2 × 3)
α = 2 / 6
α = 1 / 3
Donc :
α = 1/3
Étape 4 : calculer β
β = -Delta / 4a
On remplace Delta et a :
β = -40 / (4 × 3)
β = -40 / 12
β = -10 / 3
Donc :
β = -10/3
5. Ce qu’il faut retenir
Pour trouver la forme canonique, on travaille toujours dans cet ordre :
Je trouve a, b et c.
Je calcule Delta.
Je calcule α.
Je calcule β.
J’écris la forme canonique.
À retenir :
Delta = b² - 4ac
α = -b / 2a
β = -Delta / 4a
Forme canonique :
P(x) = a(x - α)² + β
6. Attention aux signes
Il faut être particulièrement attentif lorsque les nombres sont négatifs.
Par exemple :
(-2)² = 4
et non -4.
De même :
4 × 3 × (-3) = -36
Donc :
4 - (-36) = 4 + 36 = 40.
Il faut toujours mettre les nombres négatifs entre parenthèses lorsqu’on les remplace dans une formule.
Avez-vous bien lu ce cours ? Répondez aux QCM suivantes :
Question 1
Dans le polynôme :
P(x) = 3x² − 5x + 2
quelle est la valeur de a ?
A. −5
B. 3
C. 2
D. 5
Question 2
Dans le polynôme :
P(x) = −2x² + 7x − 4
quelle est la valeur de b ?
A. −2
B. 2
C. 7
D. −4
Question 3
Dans le polynôme :
P(x) = 4x² − 3x + 6
quelle est la valeur de c ?
A. 4
B. −3
C. 3
D. 6
Question 4
Quelle est la forme canonique générale d’un polynôme du second degré ?
A. P(x) = ax² + bx + c
B. P(x) = a(x + α)² + β
C. P(x) = a(x − α)² + β
D. P(x) = ax + b
Question 5
Quelle formule permet de calculer le discriminant ?
A. Delta = b² + 4ac
B. Delta = b² − 4ac
C. Delta = 4ac − b²
D. Delta = b² − 2ac
Question 6
Quelle formule permet de calculer α ?
A. α = b / 2a
B. α = −b / 2a
C. α = −b / 4a
D. α = Delta / 4a
Question 7
Quelle formule permet de calculer β ?
A. β = Delta / 4a
B. β = −Delta / 4a
C. β = −Delta / 4a²
D. β = b / 2a
Question 8
On considère :
P(x) = 2x² + 4x + 1
Quelles sont les valeurs de a, b et c ?
A. a = 2, b = 4, c = 1
B. a = 2, b = −4, c = 1
C. a = 4, b = 2, c = 1
D. a = 1, b = 4, c = 2
Question 9
On considère :
P(x) = x² − 6x + 5
Quelle est la valeur de Delta ?
A. 16
B. 36
C. 56
D. 64
Question 10
On considère :
P(x) = 2x² − 8x + 3
Quelle est la valeur de α ?
A. −2
B. 2
C. −4
D. 4
Question 11
On considère :
P(x) = x² − 4x + 1
Quelle est la valeur de α ?
A. −2
B. 2
C. 4
D. −4
Question 12
On considère :
P(x) = 2x² − 4x + 1
Quelle est la valeur de Delta ?
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
Question 13
On considère :
P(x) = 2x² − 4x + 1
Quelle est la valeur de α ?
A. −1
B. 1
C. 2
D. −2
Question 14
On considère :
P(x) = 2x² − 4x + 1
Quelle est la valeur de β ?
A. −1/2
B. 1/2
C. −1
D. 1
Question 15
On considère :
P(x) = 2x² − 4x + 1
Quelle est sa forme canonique ?
A. P(x) = 2(x − 1)² − 1
B. P(x) = 2(x + 1)² − 1
C. P(x) = 2(x − 1)² + 1
D. P(x) = (x − 1)² − 2
Question 16
On considère :
P(x) = 3x² − 2x − 3
Quelle est la valeur de Delta ?
A. 28
B. 32
C. 36
D. 40
Question 17
Pour le polynôme :
P(x) = 3x² − 2x − 3
quelle est la valeur de α ?
A. −1/3
B. 1/3
C. 2/3
D. −2/3
Question 18
Pour le même polynôme, quelle est la valeur de β ?
A. −10/3
B. 10/3
C. −3/10
D. 3/10
Question 19
Quelle est la forme canonique de :
P(x) = 3x² − 2x − 3 ?
A. 3(x + 1/3)² − 10/3
B. 3(x − 1/3)² + 10/3
C. 3(x − 1/3)² − 10/3
D. 3(x + 1/3)² + 10/3
Question 20
Quelle est la bonne méthode pour déterminer la forme canonique ?
A. Trouver a, puis écrire directement la réponse.
B. Trouver b et c, puis développer.
C. Trouver a, b et c, calculer Delta, puis α et β, et enfin écrire la forme canonique.
D. Calculer uniquement Delta.
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